Что такое евклидова геометрия?

​АиФ.ru отвечает на популярные вопросы читателей.

7 февраля 1832 года Николай Лобачевский представил на суд коллег свой первый труд по неевклидовой геометрии. Евклидова геометрия — это геометрия, основанная на аксиомах, сформулированных в книге Евклида «Начала»*. Выводы древнегреческого математика считались абсолютной истиной в применении к физическому миру на протяжении почти 2000 лет. Только в XIX веке было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах — труд Лобачевского положил начало перевороту в математике.

В евклидову геометрию входят планиметрия — раздел геометрии, исследующий фигуры на плоскости, и стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Какие аксиомы и постулаты предложил Евклид?

В «Началах» Евклида содержались следующие утверждения, принимаемые без доказательства:

Постулаты

Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

И чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить.

И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

И чтобы все прямые углы были равны между собой.

И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы

Равные одному и тому же равны между собой.

И если к равным прибавим равные, то получим равные.

И если от равных отнимем равные, то получим равные.

И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

И если удвоим равные, то получим равные.

И половины равных равны между собой.

И совмещающие равны.

И целое больше части.

И две прямые не могут заключить пространства.

Что такое «неевклидова геометрия»?

Неевклидова геометрия — это геометрия, которая использует набор аксиом, отличных от аксиом евклидовой геометрии, в частности, не включает постулата о параллельных прямых. Основные открытия геометрических систем, в которых аксиомы Евклида не верны, были сделаны Николаем Лобачевским и Георгом Риманом.

Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой а и не пересекает эту прямую. В геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много).

В геометрии Римана принимается аксиома, что каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных.

Таким образом, отличия евклидовой геометрии от геометрии Лобачевского в том, что порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку в множестве действительных чисел, а отличие евклидовой геометрии от геометрии Римана в том, что порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку в множестве точек на окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую.

*«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвященный систематическому построению геометрии.